Calcule as seguintes integrais
integral sen^10(x) cos ^3(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, mais especificamente, seno e cosseno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar essa integral. Temos integral sin^10(x) cos^3(x) dx = integral sin^10(x) cos^2(x) cos(x) dx e . Uma boa estratégia aqui é separar um fator de para facilitar a substituição. Podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, lembrando que integral sin^10(x) (1 - sin^2(x)) cos(x) dx , vamos substituir isso na integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo integral u^10 (1 - u^2) du e na integral, ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral (u^10 - u^12) du

Passo 7

Integrando termo a termo, usamos a regra básica da integração:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso aos dois termos:
u^1111 - u^1313 + C

Passo 8

Por fim, substituímos sin^11(x)11 - sin^13(x)13 + C de volta por :

Resposta

A integral sin^11(x)11 - sin^13(x)13 + C é igual a:

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