Calcule as seguintes integrais
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, mais especificamente, seno e cosseno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar essa integral. Temos e . Uma boa estratégia aqui é separar um fator de para facilitar a substituição. Podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, lembrando que , vamos substituir isso na integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo e na integral, ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 7

Integrando termo a termo, usamos a regra básica da integração:
Aplicando isso aos dois termos:

Passo 8

Por fim, substituímos de volta por :

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Simplifique a expressão:
70.
Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
.
Efetue as operações indicadas e simplifique cada expressão:
72.
Efetue as operações indicadas e simplifique cada expressão:
77.