Calcule as seguintes integrais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, mais especificamente, seno e cosseno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como simplificar essa integral. Temos
e
. Uma boa estratégia aqui é separar um fator de
para facilitar a substituição. Podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, lembrando que
, vamos substituir isso na integral:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral, ficamos com:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 7
Integrando termo a termo, usamos a regra básica da integração:
Aplicando isso aos dois termos:
Passo 8
Por fim, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Simplifique a expressão:
70.
70.
Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
.
Efetue as operações indicadas e simplifique cada expressão:
72.
72.
Efetue as operações indicadas e simplifique cada expressão:
77.
77.