Calcule as seguintes integrais.
(a) integral sen(6 x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno. A identidade é:
Essa identidade vai nos ajudar a transformar o produto de seno e cosseno em uma soma de senos, o que facilita a integração.

Passo 3

Aplicando a identidade com sen(6x) cos(x) = sen(6x + x) + sen(6x - x)2 = sen(7x) + sen(5x)2 e integral sen(6x) cos(x) , dx = integral sen(7x) + sen(5x)2 , dx , temos:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, podemos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de em relação a integral sen(kx) , dx = -cos(kx)k + C é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa fórmula, temos:
E

Passo 7

Somando as duas partes, obtemos:
-cos(7x)14 - cos(5x)10 + C

Resposta

A integral é igual a:
-cos(7x)14 - cos(5x)10 + C

Exercícios relacionados

Em todos os pontos de uma curva y = f(x) tem-se que y'' = cos(2x) - sen(x). Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto 0,1 e a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta y = x
Determine a solução geral das seguintes equações:
27a) y'' + 2y' + y = e^(-x) ln(x)
Calcule as seguintes integrais.
© integral sen(n x) sen(m x) d x
Uma equação diferencial da forma x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-p^2) y=0, onde p é um numero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem p.
30a) Se p=0, mostre que y1=sumn=0^infty (-1)^n2^2 n(n!)^2 x^2 n e y2=y1 ln x+sumn=1^infty (-1)^n+12^2 n(n!)^2(1+12+ldots+1n) x^2 n são soluções LI da equação de Bessel.