Determine a solução geral das seguintes equações:
27a) y'' + 2y' + y = e^(-x) ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está dentro do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas, onde a gente precisa encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a parte homogênea e, depois, encontrar uma solução específica que satisfaz a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo na equação diferencial. Substituindo, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Observando o lado direito, vemos que ele é , que já aparece na solução homogênea multiplicada por . Por causa disso, vamos usar o método de coeficientes a determinar adaptado para esse caso.
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são funções a serem determinadas. Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original e simplificando, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar e :
Após simplificar, encontramos que:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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