Determine a solução geral das seguintes equações:
27a)
27a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas, onde a gente precisa encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a parte homogênea e, depois, encontrar uma solução específica que satisfaz a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo
na equação diferencial. Substituindo, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Observando o lado direito, vemos que ele é
, que já aparece na solução homogênea multiplicada por
. Por causa disso, vamos usar o método de coeficientes a determinar adaptado para esse caso.
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são funções a serem determinadas. Calculando as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original e simplificando, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
e
:
Após simplificar, encontramos que:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.