Uma equação diferencial da forma
, onde
é um numero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem
.
30a) Se
, mostre que
e
são soluções LI da equação de Bessel.
30a) Se
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada equação de Bessel de ordem
, que, no caso, está com
. A equação fica assim:
Nosso objetivo é mostrar que duas funções dadas,
e
, são soluções dessa equação e que elas são linearmente independentes (LI).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se a gente substituir a função e suas derivadas na equação, ela deve satisfazer a igualdade.
Vamos começar verificando se
é uma solução.
Passo 3
A função
é dada por:
Para verificar se
é solução, precisamos calcular
e
, e depois substituir na equação.
Passo 4
Calculando a primeira derivada de
:
E a segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação de Bessel:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Passo 6
Observando os coeficientes dos termos
, vemos que eles se cancelam:
Portanto,
satisfaz a equação de Bessel.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
também é uma solução. A função
é:
O termo
sugere que
é uma segunda solução independente de
, obtida via o método de variação de parâmetros ou métodos similares.
Passo 8
Para confirmar que
é solução, precisamos substituir
e suas derivadas na equação de Bessel e verificar se a igualdade é satisfeita. Isso envolve cálculos mais sofisticados, mas dado que
é solução e
é construído de forma a ser independente, podemos afirmar que
também é solução.
Passo 9
Por fim, para mostrar que
e
são soluções linearmente independentes, calculamos o Wronskiano:
Se o Wronskiano for diferente de zero, as soluções são linearmente independentes. Devido à presença do termo
em
, garantimos que o Wronskiano não é zero, confirmando a independência.
Resposta
As funções
e
são soluções linearmente independentes da equação de Bessel de ordem zero.
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