Em todos os pontos de uma curva
tem-se que
. Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto
e a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
onde a segunda derivada
é igual a . A gente precisa encontrar a equação dessa curva sabendo que ela passa pelo ponto
e que a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente integração, para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada
nos dá a concavidade da curva. Para achar a função
, precisamos integrar
duas vezes. Vamos começar encontrando a primeira derivada
.
Passo 3
Vamos integrar em relação a
:
A integral de
é e a de é
. Não podemos esquecer da constante de integração
:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação sobre a reta tangente. Sabemos que a reta tangente no ponto
é perpendicular à reta
. A reta
tem inclinação 1, então a reta perpendicular terá inclinação
. Isso significa que
.
Vamos calcular
usando a expressão que encontramos:
Como
, temos:
Então, a expressão para
fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
- A integral de é
- A integral de
é - A integral de
é
Não podemos esquecer da constante de integração
:
Passo 6
Vamos usar a condição de que a curva passa pelo ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Então, a expressão final para
é:
Resposta
A equação da curva é .
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22a)
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(a)
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