Em todos os pontos de uma curva y = f(x) tem-se que y'' = cos(2x) - sen(x). Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto 0,1 e a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva onde a segunda derivada é igual a . A gente precisa encontrar a equação dessa curva sabendo que ela passa pelo ponto e que a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente integração, para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada nos dá a concavidade da curva. Para achar a função , precisamos integrar duas vezes. Vamos começar encontrando a primeira derivada .

Passo 3

Vamos integrar em relação a :
A integral de é e a de é . Não podemos esquecer da constante de integração :

Passo 4

Agora, vamos usar a informação sobre a reta tangente. Sabemos que a reta tangente no ponto é perpendicular à reta . A reta tem inclinação 1, então a reta perpendicular terá inclinação . Isso significa que .
Vamos calcular usando a expressão que encontramos:
Como , temos:
Então, a expressão para fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar :
Integrando termo a termo:
  • A integral de é
  • A integral de é
  • A integral de é
Não podemos esquecer da constante de integração :

Passo 6

Vamos usar a condição de que a curva passa pelo ponto . Substituindo e na expressão:
Então, a expressão final para é:

Resposta

A equação da curva é .

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das seguintes equações:
27a) y'' + 2y' + y = e^(-x) ln(x)
Determine a solução geral das equações:
22a) y'' - x f(x) y' + f(x) y = 0
Calcule as seguintes integrais.
(a) integral sen(6 x) cos (x) d x
Calcule as seguintes integrais.
© integral sen(n x) sen(m x) d x