Calcule as seguintes integrais:
(a) integral triplaE(x^2+y^2) d x d y d z, onde E é a região limitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos z=-1 e z=2.
Resp. (a) 24 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . A região está delimitada pelo cilindro e pelos planos e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente usando coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos cilindros ou simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas . Nas coordenadas cilíndricas, , e . Além disso, a área diferencial vira .

Passo 3

Na expressão que vamos integrar, temos x^2 + y^2 = r^2 . Em coordenadas cilíndricas, isso se transforma em:
integral triplaE r^2 cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaE r^3 , dr , dtheta , dz
Então, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a (já que implica ).
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • varia de a , conforme os planos delimitantes.

Passo 5

Com os limites definidos, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 integral-1^2 r^3 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em etapas:
  1. Integramos em relação a integral-1^2 dz = 2 - (-1) = 3 :
3 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta
Então, a integral se simplifica para:
integral0^2 r^3 , dr = [r^44]0^2 = 164 = 4
  1. Agora, integramos em relação a 3 times 4 integral0^2pi dtheta = 12 integral0^2pi dtheta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
A integral fica:
12 times 2pi = 24pi
  1. Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

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