Calcule as seguintes integrais:
(a)
, onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Resp. (a)
.
(a)
Resp. (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla:
. A região
está delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente usando coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos cilindros ou simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas
para coordenadas cilíndricas
. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. Além disso, a área diferencial
vira
.
Passo 3
Na expressão que vamos integrar, temos
. Em coordenadas cilíndricas, isso se transforma em:
Então, a integral original fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a (já que implica ). -
varia de a para cobrir toda a circunferência. -
varia de a , conforme os planos delimitantes.
Passo 5
Com os limites definidos, a integral fica:
Vamos resolver a integral em etapas:
- Integramos em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
- Agora, integramos em relação a
:
A integral fica:
- Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo: