Calcule as seguintes integrais duplas: , onde é a região limitada por e .
Resp. (e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e precisamos entender como identificar os limites de integração com base nas curvas que formam a região .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar as curvas que delimitam nossa região :
Linha reta:
Parábola:
Para saber onde essas curvas se encontram, igualamos as duas equações:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, e . Agora, encontramos os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, vamos definir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, expressamos em termos de :
Da reta:
Da parábola:
Para cada valor de , varia de até .
Passo 4
Determinar os limites para . Sabemos que varia de a . Assim, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :