Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD 4 y^3 d x d y, onde D é a região limitada por y=x-6 e y^2=x.
Resp. (e) 5003.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e precisamos entender como identificar os limites de integração com base nas curvas que formam a região .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar ou imaginar as curvas que delimitam nossa região y = y^2 - 6 :
  1. Linha reta: y^2 - y - 6 = 0
  2. Parábola: y = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Para saber onde essas curvas se encontram, igualamos as duas equações:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, e . Agora, encontramos os valores correspondentes de :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos definir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, expressamos em termos de :
  • Da reta:
  • Da parábola:
Para cada valor de , varia de até .

Passo 4

Determinar os limites para integraly=-2^3 integralx=y^2^y+6 4 y^3 , dx , dy . Sabemos que varia de a . Assim, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integralx=y^2^y+6 4 y^3 , dx = 4 y^3 integralx=y^2^y+6 dx = 4 y^3 cdot (y + 6 - y^2) = 4 y^3 (y + 6 - y^2) :
4 y^3 ( - y^2 + y + 6 ) = -4 y^5 + 4 y^4 + 24 y^3
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a integral-2^3 (-4 y^5 + 4 y^4 + 24 y^3) , dy :
-23 y^6 + 45 y^5 + 6 y^4 g|-2^3
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão nos limites -23 (3)^6 + 45 (3)^5 + 6 (3)^4 = -23 cdot 729 + 45 cdot 243 + 6 cdot 81 = -486 + 194.4 + 486 = 194.4 e -23 (-2)^6 + 45 (-2)^5 + 6 (-2)^4 = -23 cdot 64 + 45 cdot (-32) + 6 cdot 16 = -1283 - 1285 + 96 :
Para -1283 - 1285 + 96 = -64015 - 38415 + 144015 = 1440 - 640 - 38415 = 41615 :
Para :
Calculando:

Passo 8

Finalmente, subtraímos os valores obtidos:
194.4 - 41615 = 291615 - 41615 = 250015 = 5003

Resposta

A integral dupla vale .

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