Calcule sendo a região plana limitada por: e . Resp. (h) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla . O enunciado nos dá que a região é limitada pelas retas , , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variável, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. As equações que delimitam são:
Essas quatro linhas formam uma área no plano que vamos precisar descrever para configurar os limites de integração.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Com essa substituição, nossa integral muda de coordenadas para . Precisamos também encontrar o determinante da Jacobiana dessa transformação para ajustar os limites de integração.
Passo 4
Calculando a Jacobiana:
[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
1
= (-1)(1) - (0)(1) = -1
]
O valor absoluto da Jacobiana é .
Passo 5
Agora, substituímos as fronteiras da região D em termos de u e v. As equações se tornam:
u = 1
u = 2
v = 2x Rightarrow v = 2(y - u) Rightarrow v = 2y - 2u
v = 3x Rightarrow v = 3(y - u) Rightarrow v = 3y - 3u
Com isso, os limites para u são de 1 a 2, e para cada u, v varia de 2u a 3u.
A integral fica:
integral duplaD e^u , dx , dy = integralu=1^2 integralv=2u^3u e^u cdot 1 , dv , du
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a v:
integral2u^3u e^u , dv = e^u (3u - 2u) = e^u cdot u
Agora, substituímos na integral externa:
integral1^2 e^u cdot u , du
Passo 7
Para resolver integral e^u cdot u , du, usamos a técnica de integração por partes, onde:
f = u e dg = e^u du
Então, df = du e g = e^u
Aplicando integração por partes:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u + C