Calcule integral duplaD e^y-x d x d y sendo D a região plana limitada por: y-x=1 ; y-x=2 ; y=2 x e y=3 x. Resp. (h) e^22.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD e^y-x , dx , dy. O enunciado nos dá que a região D é limitada pelas retas y - x = 1, y - x = 2, y = 2x e y = 3x. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variável, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D onde vamos integrar. As equações que delimitam D são:
  1. y - x = 1
  2. y - x = 2
  3. y = 2x
  4. y = 3x
Essas quatro linhas formam uma área no plano xy que vamos precisar descrever para configurar os limites de integração.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
  • u = y - x
  • v = y
Com essa substituição, nossa integral muda de coordenadas (x, y) para (u, v). Precisamos também encontrar o determinante da Jacobiana dessa transformação para ajustar os limites de integração.

Passo 4

Calculando a Jacobiana:

[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = -1 & 0 1 & 1 = (-1)(1) - (0)(1) = -1

1
= (-1)(1) - (0)(1) = -1
]
O valor absoluto da Jacobiana é .

Passo 5

Agora, substituímos as fronteiras da região D em termos de u e v. As equações se tornam:
  1. u = 1
  2. u = 2
  3. v = 2x Rightarrow v = 2(y - u) Rightarrow v = 2y - 2u
  4. v = 3x Rightarrow v = 3(y - u) Rightarrow v = 3y - 3u
Com isso, os limites para u são de 1 a 2, e para cada u, v varia de 2u a 3u.
A integral fica:
integral duplaD e^u , dx , dy = integralu=1^2 integralv=2u^3u e^u cdot 1 , dv , du

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a v:
integral2u^3u e^u , dv = e^u (3u - 2u) = e^u cdot u
Agora, substituímos na integral externa:
integral1^2 e^u cdot u , du

Passo 7

Para resolver integral e^u cdot u , du, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • f = u e dg = e^u du
  • Então, df = du e g = e^u
Aplicando integração por partes:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u + C
Agora, avaliamos de 1 a 2:
[ u e^u - e^u ]1^2 = (2 e^2 - e^2) - (1 e^1 - e^1) = e^2 - 0 = e^2

Resposta

O valor da integral é e^22.

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