Calcule as seguintes integrais.
(e) integralpi / 4^pi cos (x) cos (7 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com integração de produtos de funções trigonométricas, especificamente cossenos com diferentes múltiplos do ângulo . Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de dois cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos em uma soma:
cos(a x) cos(b x) = 12 [ cos((a + b)x) + cos((a - b)x) ]
Nesse caso, temos e . Vamos aplicar essa identidade na nossa integral.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
cos(x) cos(7x) = 12 [ cos((1 + 7)x) + cos((1 - 7)x) ] = 12 [ cos(8x) + cos(-6x) ]
Sabemos que cos(x) cos(7x) = 12 [ cos(8x) + cos(6x) ] porque o cosseno é uma função par. Então, simplificamos para:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na nossa integral original:
integralpi / 4^pi cos(x) cos(7x) , dx = 12 integralpi / 4^pi [ cos(8x) + cos(6x) ] , dx
Vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integralpi / 4^pi cos(8x) , dx + integralpi / 4^pi cos(6x) , dx )

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral cos(8x) , dx = sin(8x)8 + C em relação a integral cos(6x) , dx = sin(6x)6 + C é .
Primeiro, para :
E para :

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
12 ( [ sin(8x)8 ]pi / 4^pi + [ sin(6x)6 ]pi / 4^pi )
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, avaliando sin(8pi)8 - sin(8 cdot pi4)8 = sin(8pi)8 - sin(2pi)8 = 08 - 08 = 0 de a :
Porque para qualquer inteiro .

Passo 8

Agora, avaliando sin(6pi)6 - sin(6 cdot pi4)6 = 06 - sin(3pi2)6 = 0 - ( -16 ) = 16 de a :
Porque e .

Passo 9

Agora, juntando os resultados das integrais:
12 ( 0 + 16 ) = 12 cdot 16 = 112

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Uma equação diferencial da forma x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-p^2) y=0, onde p é um numero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem p.
30a) Se p=0, mostre que y1=sumn=0^infty (-1)^n2^2 n(n!)^2 x^2 n e y2=y1 ln x+sumn=1^infty (-1)^n+12^2 n(n!)^2(1+12+ldots+1n) x^2 n são soluções LI da equação de Bessel.
Calcule as seguintes integrais.
© integral sen(n x) sen(m x) d x
Calcule.
(a) integral sen^3(x) d x
Calcule.
(h) integral0^pi / 4 sec ^4(x) tg^4(x) d x