Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região específica no plano. A matéria que vamos usar aqui são integrais múltiplas, que ajudam a encontrar áreas, volumes ou, nesse caso, somas de funções sobre regiões definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base na região dada e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A região está definida por:
Isso significa que varia de a , e para cada valor de , varia de a . Visualmente, essa região é simétrica em relação ao eixo , formando uma espécie de “paraboloide”.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
Para resolver essa integral, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada fixo, varia de a .

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira parte:
Como não depende de , a integral interna fica:
Então, a primeira parte fica:

Passo 6

Segunda parte:
Vamos calcular a integral interna:
Então, a segunda parte é zero.

Passo 7

Somando as duas partes:

Resposta

Exercícios relacionados

Usando integral de linha, calcule a área das seguintes figuras.
A área dentro do laço do folium de Descartes (ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira do folium.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o quadrado com vértices .
Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Calcule: A área da região limitada pelas curvas e .