Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
integral duplaOmega(x^4-2 y) d x d y
Omega:(x, y) in R^2 ;-1 <= x <= 1,-x^2 <= y <= x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região específica no plano. A matéria que vamos usar aqui são integrais múltiplas, que ajudam a encontrar áreas, volumes ou, nesse caso, somas de funções sobre regiões definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base na região dada e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região Omega = (x, y) in R^2 ; ; ; -1 <= x <= 1, ; -x^2 <= y <= x^2 onde vamos integrar. A região está definida por:
Isso significa que varia de a , e para cada valor de , varia de a . Visualmente, essa região é simétrica em relação ao eixo , formando uma espécie de “paraboloide”.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
integral duplaOmega(x^4 - 2y) , dx , dy
Para resolver essa integral, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada fixo, varia de a .

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral duplaOmega x^4 , dx , dy e integral duplaOmega (-2y) , dx , dy
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira parte:
integral duplaOmega x^4 , dx , dy = integral-1^1 integral-x^2^x^2 x^4 , dy , dx
Como integral-x^2^x^2 x^4 , dy = x^4 [ y ]-x^2^x^2 = x^4 (x^2 - (-x^2)) = 2x^6 não depende de integral-1^1 2x^6 , dx = 2 [ x^77 ]-1^1 = 2 ( 17 - (-1)^77 ) = 2 ( 17 + 17 ) = 47 , a integral interna fica:
Então, a primeira parte fica:

Passo 6

Segunda parte:
integral duplaOmega (-2y) , dx , dy = -2 integral duplaOmega y , dx , dy
Vamos calcular a integral interna:
integral-x^2^x^2 y , dy = [ y^22 ]-x^2^x^2 = (x^2)^22 - (-x^2)^22 = x^42 - x^42 = 0
Então, a segunda parte é zero.

Passo 7

Somando as duas partes:
47 + 0 = 47

Resposta

47

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