Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região específica no plano. A matéria que vamos usar aqui são integrais múltiplas, que ajudam a encontrar áreas, volumes ou, nesse caso, somas de funções sobre regiões definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base na região dada e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. A região está definida por:
Isso significa que
varia de
a
, e para cada valor de
,
varia de
a
. Visualmente, essa região é simétrica em relação ao eixo
, formando uma espécie de “paraboloide”.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
Para resolver essa integral, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Isso significa que para cada
fixo,
varia de
a
.
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira parte:
Como
não depende de
, a integral interna fica:
Então, a primeira parte fica:
Passo 6
Segunda parte:
Vamos calcular a integral interna:
Então, a segunda parte é zero.
Passo 7
Somando as duas partes:
Resposta
Exercícios relacionados
Usando integral de linha, calcule a área das seguintes figuras.
A área dentro do laço do folium de Descartes
(ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira
do folium.
A área dentro do laço
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o quadrado com vértices
.
Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Calcule: A área da região limitada pelas curvas
e
.