Calcule: A área da região limitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra para encontrar os pontos de interseção das curvas e de cálculo integral para determinar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver o sistema de equações formado por e .
Vamos isolar na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão de na primeira equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos e .
Para encontrar os valores correspondentes de :
  • Quando :
  • Quando :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual variável �� mais conveniente para a integração. Optaremos por integrar em relação a , pois as expressões das curvas já estão resolvidas para .
As equações das curvas em termos de são:
á
Observando os pontos de interseção, sabemos que a reta está acima da parábola no intervalo de a .

Passo 4

A área entre as curvas será a integral da diferença das funções no intervalo :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Calculando cada parte:
Portanto:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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.
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