Calcule: A área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra para encontrar os pontos de interseção das curvas e de cálculo integral para determinar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver o sistema de equações formado por
e
.
Vamos isolar
na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão de
na primeira equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos
e
.
Para encontrar os valores correspondentes de
:
- Quando
:
- Quando
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual variável �� mais conveniente para a integração. Optaremos por integrar em relação a
, pois as expressões das curvas já estão resolvidas para
.
As equações das curvas em termos de
são:
Observando os pontos de interseção, sabemos que a reta está acima da parábola no intervalo de
a
.
Passo 4
A área entre as curvas será a integral da diferença das funções no intervalo
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Int egre
ao longo da curva indicada.
.
A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à
.
Sobre o caminho retilíneo.
Sobre o caminho retilíneo.