Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
integral duplaC(1+10 x y+y^2) d x+(6 x y+5 x^2) d y onde C é o quadrado com vértices (0,0),(a, 0),(a, a),(0, a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema de Green! O enunciado pede para calcular a integral de linha dada sobre o contorno de um quadrado com vértices em (0,0), (a,0), (a,a) e (0,a). O conteúdo envolvido aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções e na integral de linha e aplicar o teorema para transformar isso numa integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = 1 + 10xy + y^2 e Q(x, y) = 6xy + 5x^2 na integral de linha:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Aqui, é a região delimitada pela curva , que no nosso caso é o quadrado dado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (6xy + 5x^2) = 6y + 10x
partial Ppartial y = partialpartial y (1 + 10xy + y^2) = 10x + 2y

Passo 5

Subtraindo essas derivadas conforme o Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (6y + 10x) - (10x + 2y) = 4y

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 4y , dx,dy
Como integral0^a integral0^a 4y , dx,dy é um quadrado que vai de a e de a , podemos escrever:

Passo 7

Integramos primeiro em relação a integral0^a 4y , dx = 4y cdot x |0^a = 4y cdot a = 4a y :

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^a 4a y , dy = 4a cdot y^22 |0^a = 4a cdot a^22 = 2a cdot a^2 = 2a^3 :

Resposta

A integral vale .

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