Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o quadrado com vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema de Green! O enunciado pede para calcular a integral de linha dada sobre o contorno de um quadrado com vértices em , , e . O conteúdo envolvido aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções e na integral de linha e aplicar o teorema para transformar isso numa integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Aqui, é a região delimitada pela curva , que no nosso caso é o quadrado dado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Subtraindo essas derivadas conforme o Teorema de Green:

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
Como é um quadrado que vai de a e de a , podemos escrever:

Passo 7

Integramos primeiro em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o círculo .
A figura abaixo mostra três caminhos de à . Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de à $(-1,0).
Sobre o caminho semi-circular.
Usando integral de linha, calcule a área das seguintes figuras.
A área dentro do laço do folium de Descartes (ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira do folium.
Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.