Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas. onde C é o quadrado com vértices .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema de Green! O enunciado pede para calcular a integral de linha dada sobre o contorno de um quadrado com vértices em , , e . O conteúdo envolvido aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções e na integral de linha e aplicar o teorema para transformar isso numa integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Aqui, é a região delimitada pela curva , que no nosso caso é o quadrado dado.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Subtraindo essas derivadas conforme o Teorema de Green:
Passo 6
Agora, a integral dupla fica:
Como é um quadrado que vai de a e de a , podemos escrever: