Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para isso, precisamos entender a região onde vamos integrar e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando a função com respeito a :
Isso separa em duas integrais:
Calculando cada parte:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado com respeito a :
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Convertendo para denominadores comuns:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Usando integral de linha, calcule a área das seguintes figuras.
A área dentro do laço do folium de Descartes (ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira do folium.
Calcule: A área da região limitada pelas curvas e .
Int egre ao longo da curva indicada.
.