Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
integral duplaOmega(x y-y^3) d x d y
Omega:(x, y) in R^2 ;-1 <= x <= y, 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para isso, precisamos entender a região onde vamos integrar e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região Omega = (x, y) in R^2 ;|; -1 <= x <= y, ; 0 <= y <= 1 . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a integral0^1 integral-1^y ( x y - y^3 ) dx , dy e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando a função integral-1^y ( x y - y^3 ) dx com respeito a y integral-1^y x , dx - y^3 integral-1^y dx :
y [ x^22 ]-1^y - y^3 [ x ]-1^y
Isso separa em duas integrais:
y ( y^22 - (-1)^22 ) - y^3 (y - (-1))
Calculando cada parte:
y ( y^22 - 12 ) - y^3 (y + 1)
Substituindo os limites:
= y^32 - y2 - y^4 - y^3
Simplificando:
= -y^4 - y^32 - y2

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado com respeito a integral0^1 ( -y^4 - y^32 - y2 ) dy :
- integral0^1 y^4 dy - 12 integral0^1 y^3 dy - 12 integral0^1 y , dy
Integrando termo a termo:
- [ y^55 ]0^1 - 12 [ y^44 ]0^1 - 12 [ y^22 ]0^1
Calculando cada integral:
- ( 15 - 0 ) - 12 ( 14 - 0 ) - 12 ( 12 - 0 )
Substituindo os limites:
= -15 - 18 - 14
= -840 - 540 - 1040 = -2340
Convertendo para denominadores comuns:

Resposta

A integral dupla vale .

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