Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para isso, precisamos entender a região
onde vamos integrar e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por:
Isso significa que
varia de 0 a 1 e, para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando a função
com respeito a
:
Isso separa em duas integrais:
Calculando cada parte:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado com respeito a
:
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Convertendo para denominadores comuns:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais múltiplas nas regiões indicadas.
Usando integral de linha, calcule a área das seguintes figuras.
A área dentro do laço do folium de Descartes
(ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira
do folium.
A área dentro do laço
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que
Calcule: A área da região limitada pelas curvas
e
.
Int egre
ao longo da curva indicada.
.