Int egre F(x, y) = y i + x j ao longo da curva indicada.
gamma(t) = t*i + t^2*j, t in [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva para entre 0 e 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de linha em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e calcular o resultado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite calcular a soma de um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula geral para a integral de linha de um campo ao longo de é:
Aqui, é a parametrização da curva e é a derivada dessa parametrização.

Passo 3

Vamos identificar e calcular sua derivada . Dada:
Então, derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos no campo vetorial . Como e , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de a :

Resposta

O valor da integral de linha é .

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