Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais, mais especificamente usando substituição. Para resolver, vamos precisar entender as funções trigonométricas envolvidas e como aplicar a técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração:
. Sabemos que
e
, mas para facilitar a resolução, vamos pensar em uma substituição que possa simplificar toda a expressão. Vamos tentar fazer uma substituição onde
seja a parte que está no denominador, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para poder substituir na integral. Então, derivando ambos os lados:
Isso nos dá:
Olha só que legal: o numerador da nossa integral original é exatamente
, que acabamos de encontrar ser igual a
.
Passo 4
Com essa substituição, nossa integral original fica muito mais simples. Vamos substituir tudo:
Agora, a integral está em termos de
, que é bem mais fácil de resolver.
Passo 5
A integral
é uma das integrais básicas que conhecemos. Ela é igual ao logaritmo natural de
mais a constante de integração:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por último, vamos substituir
de volta para termos em
. Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral é igual a
.