Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
integral tg x sec xsec x-5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais, mais especificamente usando substituição. Para resolver, vamos precisar entender as funções trigonométricas envolvidas e como aplicar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Sabemos que e , mas para facilitar a resolução, vamos pensar em uma substituição que possa simplificar toda a expressão. Vamos tentar fazer uma substituição onde seja a parte que está no denominador, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = ddx (sec x - 5) = sec x tan x em relação a du = sec x tan x , dx para poder substituir na integral. Então, derivando ambos os lados:
Isso nos dá:
Olha só que legal: o numerador da nossa integral original é exatamente , que acabamos de encontrar ser igual a .

Passo 4

Com essa substituição, nossa integral original fica muito mais simples. Vamos substituir tudo:
integral tan x cdot sec xsec x - 5 , dx = integral duu
Agora, a integral está em termos de , que é bem mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral integral duu = ln |u| + C é uma das integrais básicas que conhecemos. Ela é igual ao logaritmo natural de mais a constante de integração:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, vamos substituir ln |u| + C = ln |sec x - 5| + C de volta para termos em . Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a .

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