Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito num cone reto com 20 cm de altura e 12 cm de raio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio e a altura do cilindro circular reto que tem o maior volume e que pode ser encaixado dentro de um cone reto que tem 20 cm de altura e 12 cm de raio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cone e o cilindro dentro dele. Imagine o cone com sua altura de 20 cm e raio de 12 cm na base. O cilindro que queremos encaixar terá uma altura
e raio
menores. Para relacionar
e
, usamos semelhança de triângulos.
Passo 3
No cone, a razão entre o raio e a altura é constante. Então, temos:
Isso significa que o raio do cilindro pode ser expresso em função da sua altura:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume
do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
Substituindo
por
:
Então, o volume em função de
é:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
A única solução real é
, mas isso não faz sentido no contexto. Portanto, precisamos considerar as restrições do problema. O cilindro deve estar dentro do cone, então a altura máxima que
pode alcançar é 20 cm. Porém, para maximizar o volume, o equilíbrio entre
e
ocorre quando:
Substituindo esse valor na relação
:
Resposta
O cilindro de maior volume que pode ser inscrito no cone tem um raio de 8 cm e uma altura de aproximadamente 13,33 cm.