Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
integral senh(ln x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas e logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar usar as definições das funções hiperbólicas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico. A definição é:
sinh(y) = e^y - e^-y2
Então, aplicando isso a sinh(ln x) = e^ln x - e^-ln x2 :

Passo 3

Sabemos que sinh(ln x) = x - 1x2 e sinh(ln x)x = x - 1x2x = x - 1x2x = 1 - 1x^22 . Substituindo na expressão:
Agora, vamos dividir isso por conforme a integral:

Passo 4

Agora, a integral fica mais simples:
integral 1 - 1x^22 , dx = 12 integral 1 , dx - 12 integral 1x^2 , dx
Integrando cada termo:
12 integral 1 , dx = 12 x
12 integral 1x^2 , dx = 12 ( -1x )
Então, juntando tudo:
12 x - 12 ( -1x ) = 12 x + 12x

Resposta

integral senh(ln x)x , dx = 12 x + 12x + C

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