Um circuito possui um indutor de 1 He um capacitor de 10^(-4) F ligados em série a uma fonte que proporciona uma força eletromotriz que depende do tempo de acordo com 100 sen(50 t) V. Inicialmente a carga no capacitor e a corrente que passa no circuito são nulas. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Em que instantes de tempo a carga no capacitor é zero? c) Repita o item (a) assumindo que uma resistor de 205 Ohm é ligado em série juntamente com o capacitor e com o indutor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre circuitos elétricos que envolvem componentes como indutores, capacitores e resistores, além de uma fonte de tensão que muda com o tempo. A gente vai precisar usar conceitos de circuitos AC (corrente alternada) e as equações que descrevem o comportamento de indutores e capacitores em tais circuitos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo.

Primeiro, vamos entender o circuito. Temos um indutor de 1 H (Henry) e um capacitor de F (Farad) ligados em série a uma fonte de tensão que varia com o tempo de acordo com V. Inicialmente, nem tem carga no capacitor nem corrente passando no circuito.
Como o circuito é série e temos um indutor e capacitor, podemos usar a equação diferencial que relaciona a tensão da fonte com a carga no capacitor e a corrente no circuito. A equação básica para um circuito LC (indutor e capacitor) é:
Onde:
  • é a indutância,
  • é a capacitância,
  • é a carga no capacitor,
  • é a corrente,
  • é a tensão da fonte.
Sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo isso na equação do circuito:
Agora, vamos substituir os valores dados:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que podemos resolver usando métodos de equações diferenciais para obter e, posteriormente, .

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
Onde rad/s, e e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma:
Derivando e substituindo na equação original, encontramos os valores de e .
Após encontrar e somar à solução homogênea, aplicamos as condições iniciais e para determinar as constantes e .
Finalmente, a carga no capacitor é e a corrente é .

Passo 4

Parte (b): Em que instantes de tempo a carga no capacitor é zero?

Depois de encontrar a expressão para , precisamos encontrar os valores de para os quais . Isso envolve resolver a equação para . Dependendo da forma de , podemos usar métodos algébricos ou numéricos para encontrar esses instantes de tempo onde a carga no capacitor é nula.

Passo 5

Parte ©: Repetir o item (a) assumindo que um resistor de é ligado em série juntamente com o capacitor e o indutor.

Agora, adicionamos um resistor de ao circuito. O circuito passa a ser um circuito RLC série. A presença do resistor adiciona um termo de amortecimento à equação diferencial.
A nova equação do circuito é:
Substituindo :
Com os valores dados:
Resolvemos essa nova equação diferencial da mesma forma que na parte (a), encontrando a solução homogênea e a solução particular, e aplicando as condições iniciais para determinar as constantes. A presença do resistor altera o comportamento do circuito, introduzindo amortecimento, o que afeta a resposta em frequência e a estabilidade do sistema.

Resposta

Ao seguir os passos acima, obtemos as expressões para a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo para as partes (a) e ©, além dos instantes de tempo em que a carga no capacitor é zero na parte (b). As soluções específicas envolvem resolver as equações diferenciais apresentadas, aplicando as condições iniciais e utilizando funções trigonométricas e exponenciais conforme necessário.

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