Um circuito possui um indutor de 1 He um capacitor de
ligados em série a uma fonte que proporciona uma força eletromotriz que depende do tempo de acordo com
. Inicialmente a carga no capacitor e a corrente que passa no circuito são nulas. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Em que instantes de tempo a carga no capacitor é zero? c) Repita o item (a) assumindo que uma resistor de
é ligado em série juntamente com o capacitor e com o indutor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre circuitos elétricos que envolvem componentes como indutores, capacitores e resistores, além de uma fonte de tensão que muda com o tempo. A gente vai precisar usar conceitos de circuitos AC (corrente alternada) e as equações que descrevem o comportamento de indutores e capacitores em tais circuitos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Determinar a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo.
Primeiro, vamos entender o circuito. Temos um indutor de 1 H (Henry) e um capacitor de
F (Farad) ligados em série a uma fonte de tensão que varia com o tempo de acordo com
V. Inicialmente, nem tem carga no capacitor nem corrente passando no circuito.
Como o circuito é série e temos um indutor e capacitor, podemos usar a equação diferencial que relaciona a tensão da fonte com a carga no capacitor e a corrente no circuito. A equação básica para um circuito LC (indutor e capacitor) é:
Onde:
-
é a indutância, -
é a capacitância, -
é a carga no capacitor, -
é a corrente, -
é a tensão da fonte.
Sabemos que a corrente
é a derivada da carga
em relação ao tempo:
Substituindo isso na equação do circuito:
Agora, vamos substituir os valores dados:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que podemos resolver usando métodos de equações diferenciais para obter
e, posteriormente,
.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
Onde
rad/s, e
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
Derivando e substituindo na equação original, encontramos os valores de
e
.
Após encontrar
e somar à solução homogênea, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar as constantes
e
.
Finalmente, a carga no capacitor é
e a corrente é
.
Passo 4
Parte (b): Em que instantes de tempo a carga no capacitor é zero?
Depois de encontrar a expressão para
, precisamos encontrar os valores de
para os quais
. Isso envolve resolver a equação
para
. Dependendo da forma de
, podemos usar métodos algébricos ou numéricos para encontrar esses instantes de tempo onde a carga no capacitor é nula.
Passo 5
Parte ©: Repetir o item (a) assumindo que um resistor de
é ligado em série juntamente com o capacitor e o indutor.
Agora, adicionamos um resistor de
ao circuito. O circuito passa a ser um circuito RLC série. A presença do resistor adiciona um termo de amortecimento à equação diferencial.
A nova equação do circuito é:
Substituindo
:
Com os valores dados:
Resolvemos essa nova equação diferencial da mesma forma que na parte (a), encontrando a solução homogênea e a solução particular, e aplicando as condições iniciais para determinar as constantes. A presença do resistor altera o comportamento do circuito, introduzindo amortecimento, o que afeta a resposta em frequência e a estabilidade do sistema.
Resposta
Ao seguir os passos acima, obtemos as expressões para a carga no capacitor
e a corrente no circuito
em função do tempo para as partes (a) e ©, além dos instantes de tempo em que a carga no capacitor é zero na parte (b). As soluções específicas envolvem resolver as equações diferenciais apresentadas, aplicando as condições iniciais e utilizando funções trigonométricas e exponenciais conforme necessário.