Calcule as seguintes integrais sabendo que é limitada pelas curvas dadas
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral dupla , onde a região está limitada pelas curvas e . Isso está relacionado ao tema de integrais duplas em cálculo. Para resolver, precisamos entender os limites de integração que definem a região .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região . A curva é uma parábola que se abre para a direita, e a linha é uma reta vertical. Para encontrar os pontos onde elas se encontram, igualamos , o que dá e . Então, a região está entre e , e entre e .
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Isso significa que para cada valor de entre e , varia de até .
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
A antiderivada de em relação a é . Então:
Passo 5
Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^1 ( 12 - y^42 ) dy = 12 integral-1^1 (1 - y^4) , dy
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Primeiro, a integral de 1 em relação a y de -1 a 1: