Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR x d x d y x=y^2, x=1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral dupla integral duplaR x , dx , dy, onde a região R está limitada pelas curvas x = y^2 e x = 1. Isso está relacionado ao tema de integrais duplas em cálculo. Para resolver, precisamos entender os limites de integração que definem a região R.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região R. A curva x = y^2 é uma parábola que se abre para a direita, e a linha x = 1 é uma reta vertical. Para encontrar os pontos onde elas se encontram, igualamos y^2 = 1, o que dá y = 1 e y = -1. Então, a região está entre y = -1 e y = 1, e entre x = y^2 e x = 1.

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
integraly=-1^1 integralx=y^2^1 x , dx , dy
Isso significa que para cada valor de y entre -1 e 1, x varia de y^2 até 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integralx=y^2^1 x , dx
A antiderivada de x em relação a x é x^22. Então:
x^22 |y^2^1 = 1^22 - (y^2)^22 = 12 - y^42

Passo 5

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^1 ( 12 - y^42 ) dy = 12 integral-1^1 (1 - y^4) , dy

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Primeiro, a integral de 1 em relação a y de -1 a 1:
integral-1^1 1 , dy = y |-1^1 = 1 - (-1) = 2
Depois, a integral de y^4:
integral-1^1 y^4 , dy = y^55 |-1^1 = 15 - ( (-1)^55 ) = 15 - ( -15 ) = 25

Passo 7

Substituímos esses resultados na expressão anterior:
12 ( 2 - 25 ) = 12 ( 105 - 25 ) = 12 cdot 85 = 810 = 45

Resposta

O valor da integral dupla é dfrac45.

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Calcule as derivdas abaixo: (t^{15})'
Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR x y d x d y x^2a^2+y^2b^2=1, x=0, y=0 com x >= 0, y >= 0
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