Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR x y d x d y x^2a^2+y^2b^2=1, x=0, y=0 com x >= 0, y >= 0

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaR x y , dx , dy, onde a região R é limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1, pelas retas x=0 e y=0, e estamos considerando apenas x >= 0 e y >= 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudanças de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R. A equação x^2a^2+y^2b^2=1 representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento a e b nas direções x e y, respectivamente. Como estamos considerando x >= 0 e y >= 0, nossa região R é o quarto de elipse no primeiro quadrante.

Passo 3

Para calcular a integral dupla, podemos mudar para coordenadas que simplifiquem os limites de integração. Vamos usar uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo unitário. Definimos:
u = xa, v = yb
Dessa forma, a equação da elipse se torna u^2 + v^2 = 1, que é a equação de um círculo unitário.

Passo 4

Ao mudar de variável, precisamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano J é dado por:
J = | partial(x, y)partial(u, v) | = | cc a & 0 0 & b | = a cdot b = ab
Esse fator ajusta a área durante a mudança de coordenadas.

Passo 5

Agora, expressamos a integral original em termos das novas variáveis u e v:
integral duplaR x y , dx , dy = integral duplaC (a u)(b v) cdot ab , du , dv = a^2 b^2 integral duplaC u v , du , dv
Aqui, C é o círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.

Passo 6

Observamos que a função u v é uma função ímpar em relação a u e v. Ao integrar uma função ímpar sobre um domínio simétrico em torno da origem, o resultado é zero. Como o círculo unitário C é simétrico, a integral de u v sobre C é zero:
integral duplaC u v , du , dv = 0

Passo 7

Portanto, a integral original também é zero:
integral duplaR x y , dx , dy = a^2 b^2 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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