Calcule as seguintes integrais sabendo que é limitada pelas curvas dadas com
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde a região é limitada pela elipse , pelas retas e , e estamos considerando apenas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudanças de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento e nas direções e , respectivamente. Como estamos considerando e , nossa região é o quarto de elipse no primeiro quadrante.
Passo 3
Para calcular a integral dupla, podemos mudar para coordenadas que simplifiquem os limites de integração. Vamos usar uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo unitário. Definimos:
Dessa forma, a equação da elipse se torna , que é a equação de um círculo unitário.
Passo 4
Ao mudar de variável, precisamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano é dado por:
Esse fator ajusta a área durante a mudança de coordenadas.
Passo 5
Agora, expressamos a integral original em termos das novas variáveis u e v:
integral duplaR x y , dx , dy = integral duplaC (a u)(b v) cdot ab , du , dv = a^2 b^2 integral duplaC u v , du , dv
Aqui, C é o círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.
Passo 6
Observamos que a função u v é uma função ímpar em relação a u e v. Ao integrar uma função ímpar sobre um domínio simétrico em torno da origem, o resultado é zero. Como o círculo unitário C é simétrico, a integral de u v sobre C é zero:
integral duplaC u v , du , dv = 0
Passo 7
Portanto, a integral original também é zero:
integral duplaR x y , dx , dy = a^2 b^2 cdot 0 = 0