Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício usa o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher partes da nossa integral para e de forma que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que será e o que será :
  • Seja . Isso porque derivar vai simplificar a expressão.
  • Então, . Isso porque integrar é direto.

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então , o que nos dá .

Passo 6

Substituindo na integral:
Integrando:
Substituindo :

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

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Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
©
Figura 1.3: Gráfico de
Dada a função. Encontre os valores máximo e mínimo local de .
Para cada função: . Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.