Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(f) integral arccos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Esse exercício usa o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher partes da nossa integral para e de forma que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que será e o que será :
  • Seja . Isso porque derivar vai simplificar a expressão.
  • Então, . Isso porque integrar é direto.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx arccos(2x) , dx = -2raiz1 - (2x)^2 , dx = -2raiz1 - 4x^2 , dx e v = integral dx = x :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arccos(2x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo = x cdot arccos(2x) - integral x cdot ( -2raiz1 - 4x^2 ) dx , = x cdot arccos(2x) + 2 integral xraiz1 - 4x^2 , dx , e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então , o que nos dá .

Passo 6

Substituindo na integral:
2 integral xraiz1 - 4x^2 , dx = 2 cdot ( -18 integral 1raizw , dw ) = -14 integral w^-1/2 , dw
Integrando:
-14 cdot 2 w^1/2 + C = -12 raizw + C
Substituindo -12 raiz1 - 4x^2 + C :

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral arccos(2x) , dx = x cdot arccos(2x) - 12 raiz1 - 4x^2 + C

Resposta

integral arccos(2x) , dx = x cdot arccos(2x) - 12 raiz1 - 4x^2 + C

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