Para cada função:
. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os intervalos em que cada uma das três funções dadas é crescente ou decrescente. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a determinar se uma função está subindo ou descendo em determinados intervalos.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função,
, porque a derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se
for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Para derivar
, vamos reescrevê-la de uma forma que facilite a diferenciação:
Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Simplificando,
Passo 4
Agora, queremos saber quando
(função crescente) e
(função decrescente).
Olha só o numerador
:
O denominador
é sempre positivo quando
.
Então, a derivada muda de sinal em
.
Passo 5
Considerando os intervalos determinados:
-
Para
: - Numerador
- Denominador
-
→ Função decrescente
- Numerador
-
Para
: - Numerador
- Denominador
-
→ Função crescente
- Numerador
Passo 6
Agora, vamos para a segunda função:
.
Primeiro, encontramos a derivada:
Passo 7
Queremos saber onde
e
. Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos críticos.
Dividindo toda a equação por 6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 8
Agora, analisamos os intervalos criados por esses pontos:
-
Para
: - Vamos escolher
: -
→ Crescente
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
: -
→ Decrescente
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
: -
→ Crescente
- Vamos escolher
Passo 9
Finalmente, a terceira função:
, com
.
Primeiro, encontramos a derivada:
Passo 10
Queremos determinar onde
e
.
Sabemos que
sempre está entre -1 e 1, então
nunca ocorre. Portanto, a derivada
é sempre positiva ou igual a zero.
Passo 11
Analisando:
-
quando , ou seja, em , onde é inteiro. No intervalo dado , isso ocorre em e , mas está fora do intervalo. Então, apenas em .
Para os demais valores,
, ou seja, a função está sempre crescendo, exceto no ponto onde a derivada é zero.
Resposta
-
Para
: - Decrescente em
- Crescente em
- Decrescente em
-
Para
: - Crescente em
e - Decrescente em
- Crescente em
-
Para
, : - Sempre crescente no intervalo
- Sempre crescente no intervalo
Exercícios relacionados
Dada a função.
Encontre os valores máximo e mínimo local de
.
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(f)
(f)
Dada a função.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
para todo
, -Assíntota vertical
,
se
ou
,
se
.