Para cada função: . Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os intervalos em que cada uma das três funções dadas é crescente ou decrescente. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a determinar se uma função está subindo ou descendo em determinados intervalos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função, , porque a derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Para derivar , vamos reescrevê-la de uma forma que facilite a diferenciação:
Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então,
Simplificando,

Passo 4

Agora, queremos saber quando (função crescente) e (função decrescente).
Olha só o numerador :
O denominador é sempre positivo quando .
Então, a derivada muda de sinal em .

Passo 5

Considerando os intervalos determinados:
  1. Para :
    • Numerador
    • Denominador
    • → Função decrescente
  2. Para :
    • Numerador
    • Denominador
    • → Função crescente

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função: .
Primeiro, encontramos a derivada:

Passo 7

Queremos saber onde e . Vamos resolver a equação para encontrar os pontos críticos.
Dividindo toda a equação por 6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 8

Agora, analisamos os intervalos criados por esses pontos:
  1. Para :
    • Vamos escolher :
    • → Crescente
  2. Para :
    • Vamos escolher :
    • → Decrescente
  3. Para :
    • Vamos escolher :
    • → Crescente

Passo 9

Finalmente, a terceira função: , com .
Primeiro, encontramos a derivada:

Passo 10

Queremos determinar onde e .
Sabemos que sempre está entre -1 e 1, então nunca ocorre. Portanto, a derivada é sempre positiva ou igual a zero.

Passo 11

Analisando:
  • quando , ou seja, em , onde é inteiro. No intervalo dado , isso ocorre em e , mas está fora do intervalo. Então, apenas em .
Para os demais valores, , ou seja, a função está sempre crescendo, exceto no ponto onde a derivada é zero.

Resposta

  1. Para :
    • Decrescente em
    • Crescente em
  2. Para :
    • Crescente em e
    • Decrescente em
  3. Para , :
    • Sempre crescente no intervalo

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(f)
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