Dada a função.
Encontre os valores máximo e mínimo local de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge esses valores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os máximos e mínimos locais, a gente precisa descobrir onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Vamos calcular a derivada de
:
Para derivar uma fração, usamos a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde
ou onde a derivada não existe. Observando a derivada que encontramos:
A derivada existe para todo
, já que o denominador
nunca é zero. Então, igualamos a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de
:
-
Para
: Suponha A derivada é negativa, então a função está decrescendo. -
Para
: Suponha A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo local:
Quanto ao máximo, observando a função
, percebemos que, à medida que
cresce ou diminui sem limites,
se aproxima de 1, mas nunca alcança esse valor. Portanto, a função não possui um máximo local, apenas um mínimo.
Resposta
A função
possui um mínimo local em
com valor
. Não há valor máximo local para essa função.
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Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(f)
(f)
Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
©
©
Para cada função:
. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Dada a função.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.