Dada a função. Encontre os valores máximo e mínimo local de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge esses valores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os máximos e mínimos locais, a gente precisa descobrir onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Vamos calcular a derivada de :
Para derivar uma fração, usamos a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde ou onde a derivada não existe. Observando a derivada que encontramos:
A derivada existe para todo , já que o denominador nunca é zero. Então, igualamos a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para : Suponha
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
  • Para : Suponha
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo local:
Quanto ao máximo, observando a função , percebemos que, à medida que cresce ou diminui sem limites, se aproxima de 1, mas nunca alcança esse valor. Portanto, a função não possui um máximo local, apenas um mínimo.

Resposta

A função possui um mínimo local em com valor . Não há valor máximo local para essa função.

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(f)
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Para cada função: . Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Dada a função. Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.