Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
© integral 1x^1n d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando uma tabela de integrais e depois derivar o resultado para conferir se está certinho. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente a Regra da Potência para integrais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra e fazer alguns passos de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação da regra da potência. Lembre-se que dividir por uma potência de integral 1x^1n dx = integral x^-1n dx é o mesmo que multiplicar por elevado ao expoente negativo. Então, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra da Potência, que diz que:
integral x^k dx = x^k+1k+1 + C
onde integral x^-1n dx = x^-1n + 1-1n + 1 + C e é a constante de integração. No nosso caso, . Vamos aplicar a regra:

Passo 4

Vamos simplificar o expoente e o denominador:
-1n + 1 = -1 + nn = n - 1n
Então, substituindo de volta na expressão:
x^n - 1nn - 1n + C = nn - 1 x^n - 1n + C

Passo 5

Agora, temos a antiderivada:
integral 1x^1n dx = nn - 1 x^n - 1n + C

Passo 6

Para conferir, vamos derivar o resultado e ver se volta para a função original. Derivando ddx ( nn - 1 x^n - 1n ) = nn - 1 cdot n - 1n x^n - 1n - 1 = x^-1n = 1x^1n :
Isso confirma que a integral está correta.

Resposta

integral 1x^1n dx = nn - 1 x^n - 1n + C

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