Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(t) integral x+3(x^2+6 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você enviou! O problema é calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo para simplificar integrais complicadas tornando-as mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a integração. Olhando para o denominador u = x^2 + 6x , parece um bom candidato para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x + 6 em relação a du = 2(x + 3)dx , ou seja, . Vamos derivar :
Isso mostra que . Podemos simplificar isso:

Passo 4

Observe que no numerador da nossa integral original temos x + 3 = du2dx , que aparece na expressão de . Podemos reescrever em termos de :
Isso nos permite substituir partes da integral original em termos de e .

Passo 5

Vamos substituir integral x+3(x^2+6x)^2 dx = integral du2u^2 = 12 integral u^-2 du e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar 12 integral u^-2 du = 12 ( u^-1-1 ) + C = -12u + C em relação a :

Passo 7

Finalmente, vamos substituir -12u + C = -12(x^2+6x) + C de volta para para obter a resposta em termos de :

Resposta

A integral avaliada é:
-12(x^2+6x) + C

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