Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(e) integral raizx(x-raizx+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral raizx(x-raizx+1) dx. Isso está ligado ao cálculo de integrais, mais especificamente à integração de funções polinomiais com radicais. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral e integrar termo a termo usando as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos raizx(x - raizx + 1). Para facilitar, vamos lembrar que raizx = x^1/2. Então, vamos multiplicar cada termo dentro do parêntese por x^1/2:
raizx cdot x = x^1/2 cdot x = x^1/2 cdot x^1 = x^1 + 1/2 = x^3/2
raizx cdot (-raizx) = -x^1/2 cdot x^1/2 = -x^1/2 + 1/2 = -x^1
raizx cdot 1 = x^1/2 cdot 1 = x^1/2
Então, a expressão dentro da integral fica:
x^3/2 - x + x^1/2

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais. Vamos integrar:
integral x^3/2 dx - integral x dx + integral x^1/2 dx
Para integrar cada termo, usamos a fórmula básica da integração de potências:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula a cada termo:
  1. Para integral x^3/2 dx:
x^(3/2)+1(3/2)+1 = x^5/25/2 = 25x^5/2
  1. Para -integral x dx:
-x^1+11+1 = -x^22
  1. Para integral x^1/2 dx:
x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23x^3/2

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais calculadas:
25x^5/2 - x^22 + 23x^3/2 + C

Resposta

A integral de raizx(x - raizx + 1) dx é:
25x^5/2 - 12x^2 + 23x^3/2 + C

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