Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(f) integral 4 x^2raizx^3+8 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Precisaremos identificar uma substituição que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição para a parte dentro da raiz. Observando o denominador u = x^3 + 8 , vamos definir:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = 3x^2 , dx em relação a x^2 , dx = du3 para encontrar :
Podemos resolver para :

Passo 4

Substituindo integral 4 x^2raizx^3 + 8 , dx = integral 4raizu cdot du3 = 43 integral u^-1/2 , du e na integral original, temos:
Aqui, usamos a propriedade de que para simplificar a integral.

Passo 5

Agora, vamos integrar 43 integral u^-1/2 , du = 43 cdot u^1/212 + C = 83 raizu + C :
83 raizx^3 + 8 + C
Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

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