Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(a) integral xraiz[3]x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas ao mudar a variável de integração. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir. Olhando para u = x^2 - 1 , percebo que o denominador pode ser substituído por uma nova variável. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir x , dx = du2 na integral. Derivando em relação a :
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Substituindo integral xraiz[3]x^2-1 , dx = integral 1raiz[3]u cdot du2 e 12 integral u^-1/3 , du :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-1/3 , du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C em relação a 12 cdot 32 u^2/3 + C = 34 u^2/3 + C . Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração. Aqui, :
Multiplicando pela constante que tínhamos antes ( ):

Passo 6

Agora, substituímos 34 (x^2 - 1)^2/3 + C de volta em termos de . Lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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