Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(k) integral sen(2 x) cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observe que a integral contém e . O método de substituição funciona bem quando conseguimos encontrar uma função cuja derivada também está presente na integral. Vamos tentar identificar essa função.

Passo 3

Vamos escolher dudx = -2 sen(2x) . Agora, precisamos encontrar a derivada de sen(2x) , dx = -12 , du em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo integral sen(2x) cos^2(2x) , dx = integral u^2 (-12) du = -12 integral u^2 , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral integral u^2 , du = u^33 + C :
-12 integral u^2 , du = -12 cdot u^33 + C = -u^36 + C
Portanto, substituindo de volta:

Passo 6

Finalmente, substituímos -(cos(2x))^36 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
-cos^3(2x)6 + C

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