Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis integral duplaB 2 x-y2 d x d y onde B é dado por y / 2 <= x <= y / 2+1 e 0 <= y <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis. O problema pede para calcular a integral de sobre a região , onde é definida por e . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e aplicar uma mudança de variáveis para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As desigualdades indicam que para cada valor de entre 0 e 4, varia de até . Isso descreve uma faixa retangular inclinada no plano .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar os limites de integração. Escolhemos:
u = 2x - y e v = y
Isso nos ajuda a lidar melhor com a expressão que está na integral.

Passo 4

Precisamos encontrar o determinante Jacobiano da transformação para ajustar a área de integração. Calculamos as derivadas parciais:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
partial(u, v)partial(x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 2 & -1 0 & 1 = 2 times 1 - (-1) times 0 = 2


= 2 \times 1 - (-1) \times 0 = 2
]
Então, o Jacobiano é 2.

Passo 5

Agora, reescrevemos os limites em termos de v2 <= u + v2 <= v2 + 1 e 0 <= u <= 2 . A condição se transforma em:
Simplificando, obtemos:
E continua variando de 0 a 4.

Passo 6

Agora reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB 2x - y2 , dx , dy = integral duplaB' u2 cdot 12 , du , dv = 14 integral duplaB' u , du , dv e :
Aqui, multiplicamos pela inversa do Jacobiano, que é .

Passo 7

Integrando primeiro em relação a integral0^2 u , du = [ u^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2 de 0 a 2:
integral0^4 2 , dv = 2v gr|0^4 = 8 - 0 = 8
Agora, integramos em relação a de 0 a 4:

Resposta

A integral dupla vale 8.

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