Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis onde é dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis. O problema pede para calcular a integral de sobre a região , onde é definida por e . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e aplicar uma mudança de variáveis para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . As desigualdades indicam que para cada valor de entre 0 e 4, varia de até . Isso descreve uma faixa retangular inclinada no plano .
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar os limites de integração. Escolhemos:
Isso nos ajuda a lidar melhor com a expressão que está na integral.
Passo 4
Precisamos encontrar o determinante Jacobiano da transformação para ajustar a área de integração. Calculamos as derivadas parciais:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
= 2 \times 1 - (-1) \times 0 = 2
]
Então, o Jacobiano é 2.
Passo 5
Agora, reescrevemos os limites em termos de v2 <= u + v2 <= v2 + 1 e 0 <= u <= 2 . A condição se transforma em:
Simplificando, obtemos:
E continua variando de 0 a 4.
Passo 6
Agora reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB 2x - y2 , dx , dy = integral duplaB' u2 cdot 12 , du , dv = 14 integral duplaB' u , du , dv e :
Aqui, multiplicamos pela inversa do Jacobiano, que é .
Passo 7
Integrando primeiro em relação a integral0^2 u , du = [ u^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2 de 0 a 2: