Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r(t), a <= t <= b, mostre que
integralC r cdot d r=12[|r(b)|^2-|r(a)|^2]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma curva suave que é descrita por uma função vetorial no intervalo . A missão aqui é mostrar que a integral de linha é igual a metade da diferença dos quadrados das magnitudes de nos pontos finais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é a função vetorial que descreve a curva, e é um pequeno deslocamento ao longo da curva. O produto escalar basicamente está medindo como o vetor posição está se relacionando com esse deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante da derivada de uma função vetorial. Sabemos que:
ddt|r(t)|^2 = ddt(r(t) cdot r(t)) = 2,r(t) cdot drdt
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas e a propriedade do produto escalar.

Passo 4

A partir dessa igualdade, podemos resolver para r(t) cdot drdt = 12ddt|r(t)|^2 :
Isso simplifica a nossa integral original.

Passo 5

Vamos agora integrar ambos os lados da equação em relação a integrala^b r(t) cdot drdt , dt = 12 integrala^b ddt|r(t)|^2 , dt de a :
A integral do lado direito é simplesmente a diferença dos valores de nos limites e .

Resposta

Portanto,
integralC r cdot dr = 12[|r(b)|^2 - |r(a)|^2]

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