Se
é uma curva suave dada por uma função vetorial
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma curva suave
que é descrita por uma função vetorial
no intervalo
. A missão aqui é mostrar que a integral de linha
é igual a metade da diferença dos quadrados das magnitudes de
nos pontos finais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é a função vetorial que descreve a curva, e
é um pequeno deslocamento ao longo da curva. O produto escalar
basicamente está medindo como o vetor posição
está se relacionando com esse deslocamento.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante da derivada de uma função vetorial. Sabemos que:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas e a propriedade do produto escalar.
Passo 4
A partir dessa igualdade, podemos resolver para
:
Isso simplifica a nossa integral original.
Passo 5
Vamos agora integrar ambos os lados da equação em relação a
de
a
:
A integral do lado direito é simplesmente a diferença dos valores de
nos limites
e
.
Resposta
Portanto,