Utilize derivadas parciais para calcular partial ypartial x se y=f(x) é definida implicitamente pelas equações dadas abaixo:
(b) 6 x+raizx y=3 y-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede pra gente encontrar , ou seja, a taxa de variação de em relação a , quando é definida de forma implícita pela equação . Para resolver isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que é super útil quando não está isolado na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde está misturado com , não é fácil isolar . Então, a gente diferencia os dois lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de , ou seja, não é zero.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação ddx((xy)^1/2) = 12(xy)^-1/2 cdot (y + xdydx) em relação a :

  1. Isso é direto, a derivada de é 6.

  2. Aqui a gente precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, escrevemos como .
    Isso porque, derivando , temos .

  3. Como depende de , a derivada de é 3 vezes a derivada de .

  4. A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a equação diferenciada fica:
6 + 12(xy)^-1/2 cdot (y + xdydx) = 3dydx
Nosso objetivo é isolar .

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
6 + y + xdydx2raizxy = 3dydx
Agora, vamos multiplicar todos os termos por 6 cdot 2raizxy + y + xdydx = 6raizxy cdot dydx para eliminar o denominador:
12raizxy + y + xdydx = 6raizxydydx
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos com 12raizxy + y = 6raizxydydx - xdydx de um lado e os demais termos do outro:
12raizxy + y = dydx(6raizxy - x)
Fatorando no lado direito:

Passo 7

Por fim, isolamos dydx = 12raizxy + y6raizxy - x :

Resposta

A derivada parcial partial ypartial x = 12raizxy + y6raizxy - x é:

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