Utilize derivadas parciais para calcular
se
é definida implicitamente pelas equações dadas abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede pra gente encontrar
, ou seja, a taxa de variação de
em relação a
, quando
é definida de forma implícita pela equação
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que é super útil quando
não está isolado na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde
está misturado com
, não é fácil isolar
. Então, a gente diferencia os dois lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
, ou seja,
não é zero.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo da equação
em relação a
:
-
Isso é direto, a derivada deé 6. -
Aqui a gente precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, escrevemoscomo . Isso porque, derivando, temos . -
Comodepende de , a derivada de é 3 vezes a derivada de . -
A derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, juntando tudo, a equação diferenciada fica:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
no lado direito:
Passo 7
Por fim, isolamos
:
Resposta
A derivada parcial
é: