Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis onde é dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla usando a técnica de mudança de variáveis. O domínio de integração está definido por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para as novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição de variáveis que simplifique a integral. Observando a expressão , faz sentido definir:
Essas substituições ajudarão a simplificar tanto a função integranda quanto os limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial vpartial x = -2, partial vpartial y = 1
J = (1)(1) - (-2)(1) = 1 + 2 = 3
Então,
Portanto, .
Passo 4
Vamos agora determinar os novos limites de integração em termos de 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 - x . Originalmente, temos:
u = x + y v = y - 2x
u + v = x + y + y - 2x = -x + 2y x = 2y - (u + v)
Usando as substituições e , podemos expressar e em termos de e :
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Mas para simplificação, podemos encontrar os limites observando os vértices do domínio :
Quando , varia de 0 a 1.
Então, e , ou seja, .
Quando , varia de 0 a 1.
Então, e , ou seja, .
Quando , e .
Portanto, os limites para são de 0 a 1, e para cada , varia de a .
Passo 5
Com todos os elementos prontos, podemos reescrever a integral original em termos de integral duplaB raizx+y(y-2x)^2 , dx , dy = integralu=0^1 integralv=-2u^u raizu cdot v^2 cdot 1|J| , dv , du e = 13 integral0^1 raizu ( integral-2u^u v^2 , dv ) du :