Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis integral duplaB raizx+y(y-2 x)^2 d x d y onde B é dado por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla usando a técnica de mudança de variáveis. O domínio de integração está definido por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para as novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição de variáveis que simplifique a integral. Observando a expressão u = x + y v = y - 2x , faz sentido definir:
Essas substituições ajudarão a simplificar tanto a função integranda quanto os limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano J = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y é dado por:
partial upartial x = 1, partial upartial y = 1
Calculando as derivadas parciais:
partial vpartial x = -2, partial vpartial y = 1
J = (1)(1) - (-2)(1) = 1 + 2 = 3
Então,
Portanto, .

Passo 4

Vamos agora determinar os novos limites de integração em termos de 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 - x . Originalmente, temos:
u = x + y v = y - 2x
u + v = x + y + y - 2x = -x + 2y x = 2y - (u + v)
Usando as substituições e , podemos expressar e em termos de e :
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Mas para simplificação, podemos encontrar os limites observando os vértices do domínio :
  • Quando , varia de 0 a 1.
    • Então, e , ou seja, .
  • Quando , varia de 0 a 1.
    • Então, e , ou seja, .
  • Quando , e .
Portanto, os limites para são de 0 a 1, e para cada , varia de a .

Passo 5

Com todos os elementos prontos, podemos reescrever a integral original em termos de integral duplaB raizx+y(y-2x)^2 , dx , dy = integralu=0^1 integralv=-2u^u raizu cdot v^2 cdot 1|J| , dv , du e = 13 integral0^1 raizu ( integral-2u^u v^2 , dv ) du :
Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral-2u^u v^2 , dv = [ v^33 ]-2u^u = u^33 - (-2u)^33 = u^33 - -8u^33 = 9u^33 = 3u^3
Agora, substituindo de volta na integral principal:
13 integral0^1 raizu cdot 3u^3 , du = integral0^1 u^3 cdot u^1/2 , du = integral0^1 u^7/2 , du

Passo 7

Integrando integral0^1 u^7/2 , du = [ u^9/292 ]0^1 = 29 (1^9/2 - 0) = 29 :

Resposta

A integral dupla vale .

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