(3,0 pontos) Encontre uma representação em série de potências para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente envolvendo séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função dada em uma forma que nos permita aplicar a fórmula da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma maneira que se pareça mais com a fórmula da série geométrica, que é
. Para isso, vamos factorar o denominador:
Passo 3
Agora, identificamos que a expressão
é exatamente a forma de uma série geométrica, onde
. Sabemos que uma série geométrica converge quando
, ou seja, quando
. A série geométrica correspondente é:
Passo 4
Agora, substituímos essa série na expressão original de
:
Passo 5
Simplificando a expressão, combinamos os termos de
e
:
Resposta
A representação em série de potências para
é: