(3,0 pontos) Encontre uma representação em série de potências para:
f(x) = 3x / (7 - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função . Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente envolvendo séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função dada em uma forma que nos permita aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que se pareça mais com a fórmula da série geométrica, que é . Para isso, vamos factorar o denominador:

Passo 3

Agora, identificamos que a expressão é exatamente a forma de uma série geométrica, onde . Sabemos que uma série geométrica converge quando , ou seja, quando . A série geométrica correspondente é:

Passo 4

Agora, substituímos essa série na expressão original de :

Passo 5

Simplificando a expressão, combinamos os termos de e :

Resposta

A representação em série de potências para é:

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