Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(g) integral (x^3-x^2)^2raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com a integração de funções racionais envolvendo polinômios e raízes. Para resolver isso, vamos precisar expandir o polinômio ao quadrado, simplificar a expressão e então integrar termo a termo usando as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (x^3 - x^2)^2 = x^6 - 2x^5 + x^4 :

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na integral original:
integral x^6 - 2x^5 + x^4raizx , dx
Sabendo que x^6x^1/2 - 2x^5x^1/2 + x^4x^1/2 = x^6 - 1/2 - 2x^5 - 1/2 + x^4 - 1/2 = x^11/2 - 2x^9/2 + x^7/2 , podemos reescrever a integrandem como:

Passo 4

Agora, integramos cada termo separadamente usando a regra da potência integral x^11/2 , dx = x^13/213/2 = 213x^13/2 :
integral -2x^9/2 , dx = -2 cdot x^11/211/2 = -411x^11/2
integral x^7/2 , dx = x^9/29/2 = 29x^9/2

Passo 5

Juntando tudo, a antiderivada da função é:
213x^13/2 - 411x^11/2 + 29x^9/2 + C

Passo 6

Para conferir, vamos derivar a antiderivada acima e verificar se obtemos a função original:
ddx ( 213x^13/2 - 411x^11/2 + 29x^9/2 + C ) = 213 cdot 132x^11/2 - 411 cdot 112x^9/2 + 29 cdot 92x^7/2 = x^11/2 - 2x^9/2 + x^7/2
Que é exatamente a função que tínhamos dentro da integral. Então, nossa resposta está correta!

Resposta

213x^13/2 - 411x^11/2 + 29x^9/2 + C

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