Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(j) integral d xraiz8-x^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a integral . Vamos trabalhar com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de integrais e entender como aplicar uma tabela de integrais padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma dessa integral. Temos , onde , então . Essa é uma forma padrão que está na tabela de integrais.

Passo 3

A fórmula padrão para essa integral é:
integral dxraiza^2 - x^2 = arcsin(xa) + C
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, substituímos integral dxraiz8 - x^2 = arcsin(xraiz8) + C por :

Passo 5

Agora, para conferir se a nossa resposta está correta, vamos derivar o resultado encontrado. Se derivarmos , devemos voltar à função original .

Passo 6

A derivada de em relaç��o a é . Aqui, , então .

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
ddx arcsin(xraiz8) = 1raiz8raiz1 - (xraiz8)^2 = 1raiz8 cdot raiz1 - x^28
= 1raiz8 cdot raiz8 - x^28 = 1raiz8 cdot raiz8 - x^2raiz8 = 1raiz8 - x^2
O que confirma que nossa antiderivada está correta.

Resposta

integral dxraiz8 - x^2 = arcsin(xraiz8) + C

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