Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(o) integral 5 e^a x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral de em relação a usando a tabela de integrais. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar uma função exponencial da forma e também como lidar com constantes multiplicativas na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula básica da tabela de integrais. Sabemos que:
integral e^a x , dx = 1a e^a x + C
onde é uma constante e é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, temos uma constante multiplicativa (5) antes da função exponencial. Uma propriedade importante das integrais é que a constante pode ser fatorada para fora da integral. Ou seja:
integral k cdot f(x) , dx = k cdot integral f(x) , dx
Aplicando isso ao nosso problema:
integral 5 e^a x , dx = 5 cdot integral e^a x , dx

Passo 4

Agora, substituímos a fórmula que lembramos no Passo 2 na integral que temos:
5 cdot integral e^a x , dx = 5 cdot ( 1a e^a x + C )

Passo 5

Simplificando a expressão, multiplicamos 5 por 5 cdot 1a e^a x + 5C = 5a e^a x + C' :
Aqui, representa uma nova constante de integração, já que ainda é uma constante.

Passo 6

Para conferir se está tudo certo, vamos derivar o resultado encontrado e ver se voltamos à função original ddx ( 5a e^a x + C' ) = 5a cdot a e^a x + 0 = 5 e^a x .
Derivando em relação a :
Que é exatamente a função que tínhamos para integrar. Então, está certinho!

Resposta

A integral de integral 5 e^a x , dx = 5a e^a x + C em relação a é:

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