Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
(b)
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de
em relação a
. Isso faz parte do estudo de integração por substituição, que é quando a gente escolhe uma parte da função para simplificar a integral. Vamos precisar identificar uma função dentro da integral que possa ser facilmente substituída para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observa que dentro do parêntese temos
. Vamos chamar essa parte de
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Mas na nossa integral original, não temos um
para substituir diretamente. Isso significa que precisamos ajustar a integral para que isso funcione.
Passo 3
Vamos reescrever a integral original em termos de
e
. A integral original é:
Mas sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Da substituição anterior:
No entanto, essa abordagem está complicando as coisas. Vamos tentar uma outra estratégia usando a regra do poder.
Passo 4
Na verdade, podemos resolver essa integral diretamente usando a regra do poder para integrais. A regra do poder nos diz que:
No nosso caso,
e
. Observa que nossa integral não tem o
, mas podemos ajustar isso.
Passo 5
Vamos ajustar a integral para se adequar à regra do poder. Podemos reescrever a integral original como:
Isso não simplifica diretamente, então voltamos à ideia inicial de usar a substituição de
.
Passo 6
Vamos simplificar utilizando a substituição correta. Sabemos que:
Agora, reescrevemos a integral:
Mas, como
, então:
Substituindo de volta:
Isso ainda está complicado, então vamos usar uma abordagem direta.
Passo 7
Vamos aplicar a regra do poder diretamente, sem complicações adicionais. Sabemos que para qualquer função
que seja diferenciável:
Aplicando isso à nossa integral:
Então, a integral é:
Resposta
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Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Figura 1.3: Gráfico de
Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
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