Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do estudo de integração por substituição, que é quando a gente escolhe uma parte da função para simplificar a integral. Vamos precisar identificar uma função dentro da integral que possa ser facilmente substituída para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observa que dentro do parêntese temos . Vamos chamar essa parte de :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :
Mas na nossa integral original, não temos um para substituir diretamente. Isso significa que precisamos ajustar a integral para que isso funcione.

Passo 3

Vamos reescrever a integral original em termos de e . A integral original é:
Mas sabemos que , então:
Substituindo na integral:
Agora, precisamos expressar em termos de . Da substituição anterior:
No entanto, essa abordagem está complicando as coisas. Vamos tentar uma outra estratégia usando a regra do poder.

Passo 4

Na verdade, podemos resolver essa integral diretamente usando a regra do poder para integrais. A regra do poder nos diz que:
No nosso caso, e . Observa que nossa integral não tem o , mas podemos ajustar isso.

Passo 5

Vamos ajustar a integral para se adequar à regra do poder. Podemos reescrever a integral original como:
Isso não simplifica diretamente, então voltamos à ideia inicial de usar a substituição de .

Passo 6

Vamos simplificar utilizando a substituição correta. Sabemos que:
Agora, reescrevemos a integral:
Mas, como , então:
Substituindo de volta:
Isso ainda está complicado, então vamos usar uma abordagem direta.

Passo 7

Vamos aplicar a regra do poder diretamente, sem complicações adicionais. Sabemos que para qualquer função que seja diferenciável:
Aplicando isso à nossa integral:
Então, a integral é:

Resposta

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Figura 1.3: Gráfico de
Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
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