Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função
. O que a questão pede é:
- Encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo.
- Identificar os pontos máximos ou mínimos locais.
- Descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo e encontrar os pontos de inflexão.
- Esboçar o gráfico usando todas essas informações.
Para resolver isso, vamos precisar de derivadas primeiro e depois interpretar o que elas nos dizem sobre a função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando isso:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos descobrir onde ela é positiva ou negativa.
- Quando
: a função está crescendo. - Quando
: a função está decrescendo.
Observando a derivada, o denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
- Se
, : função crescente. - Se
, : função decrescente. - Se
, : possível ponto de máximo ou mínimo.
Passo 4
Vamos agora encontrar os pontos máximos ou mínimos locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe, mas nossa derivada existe para todo
, então olhamos onde
.
Resolvendo
:
Agora, para saber se é um máximo ou mínimo, analisamos o comportamento da derivada ao redor de
:
- Para
, (decrescente). - Para
, (crescente).
Isso significa que em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando que
é um ponto mínimo local.
Vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Então, o ponto mínimo é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a concavidade da função e os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, temos:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Vamos analisar onde
é positivo ou negativo:
- Se
: a função é côncava para cima. - Se
: a função é côncava para baixo.
Analisando
:
O denominador
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende de
:
-
quando : , côncava para cima. -
quando : , côncava para baixo.
Quando
:
Esses são os possíveis pontos de inflexão.
Passo 7
Vamos confirmar os pontos de inflexão em
e
:
-
Próximo a
: - Para
, (côncava para baixo). - Para
, (côncava para cima).
Então,é um ponto de inflexão. - Para
-
Próximo a
: - Para
, (côncava para cima). - Para
, (côncava para baixo).
Então,também é um ponto de inflexão. - Para
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Passo 8
Agora que temos todas as informações, vamos resumir:
- Crescente:
- Decrescente:
- Ponto mínimo local:
- Côncava para cima:
- Côncava para baixo:
- Pontos de inflexão:
e
Resposta
A função
é decrescente para
, crescente para
, tem um ponto mínimo local em
, é côncava para cima quando
, côncava para baixo quando
, e possui pontos de inflexão em
e
. Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função!
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Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
(b)