Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função . O que a questão pede é:
  1. Encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo.
  2. Identificar os pontos máximos ou mínimos locais.
  3. Descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo e encontrar os pontos de inflexão.
  4. Esboçar o gráfico usando todas essas informações.
Para resolver isso, vamos precisar de derivadas primeiro e depois interpretar o que elas nos dizem sobre a função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando isso:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos descobrir onde ela é positiva ou negativa.
  • Quando : a função está crescendo.
  • Quando : a função está decrescendo.
Observando a derivada, o denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. Então, o sinal de depende apenas do numerador .
  • Se , : função crescente.
  • Se , : função decrescente.
  • Se , : possível ponto de máximo ou mínimo.

Passo 4

Vamos agora encontrar os pontos máximos ou mínimos locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe, mas nossa derivada existe para todo , então olhamos onde .
Resolvendo :
Agora, para saber se é um máximo ou mínimo, analisamos o comportamento da derivada ao redor de :
  • Para , (decrescente).
  • Para , (crescente).
Isso significa que em , a função muda de decrescente para crescente, indicando que é um ponto mínimo local.
Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Então, o ponto mínimo é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a concavidade da função e os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, temos:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Vamos analisar onde é positivo ou negativo:
  • Se : a função é côncava para cima.
  • Se : a função é côncava para baixo.
Analisando :
O denominador é sempre positivo. Então, o sinal de depende de :
  • quando : , côncava para cima.
  • quando : , côncava para baixo.
Quando :
Esses são os possíveis pontos de inflexão.

Passo 7

Vamos confirmar os pontos de inflexão em e :
  • Próximo a :
    • Para , (côncava para baixo).
    • Para , (côncava para cima).
    Então, é um ponto de inflexão.
  • Próximo a :
    • Para , (côncava para cima).
    • Para , (côncava para baixo).
    Então, também é um ponto de inflexão.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Então, os pontos de inflexão são e .

Passo 8

Agora que temos todas as informações, vamos resumir:
  • Crescente:
  • Decrescente:
  • Ponto mínimo local:
  • Côncava para cima:
  • Côncava para baixo:
  • Pontos de inflexão: e

Resposta

A função é decrescente para , crescente para , tem um ponto mínimo local em , é côncava para cima quando , côncava para baixo quando , e possui pontos de inflexão em e . Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função!

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Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
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Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)