Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . O que vamos fazer é descobrir onde essa função está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos de máximo e mínimo, verificar a concavidade do gráfico e identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.
Para derivar, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Vamos simplificar isso:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe, isso nos ajuda a identificar os pontos de máximo e mínimo.
Igualando a derivada a zero:
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Isso ocorre em .
Então, temos um ponto crítico em e um ponto de interesse em (mas precisamos verificar o domínio da função).
Analisando o sinal da derivada:
  • Para , digamos : — função decrescente.
  • Para , digamos : — função crescente.
Portanto, em temos um ponto de mínimo.

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e identificar possíveis pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Portanto:
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada:
  • quando e (mas pelo domínio).
  • Não há pontos onde .
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio ( ) e não possui pontos de inflexão.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Domínio:
  • Crescimento: Decrescente para , Crescente para
  • Ponto de Mínimo:
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
  • Sem pontos de inflexão
Assim, o gráfico terá uma curva que desce até , onde atinge o mínimo, e então come��a a subir, mantendo a concavidade para cima.

Resposta

A função é decrescente no intervalo e crescente em . Possui um ponto de mínimo local em . O gráfico é côncavo para cima em todo o seu domínio e não apresenta pontos de inflexão.

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Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
Figura 1.3: Gráfico de