Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. O que vamos fazer é descobrir onde essa função está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos de máximo e mínimo, verificar a concavidade do gráfico e identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.
Para derivar, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Vamos simplificar isso:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe, isso nos ajuda a identificar os pontos de máximo e mínimo.
Igualando a derivada a zero:
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Isso ocorre em
.
Então, temos um ponto crítico em
e um ponto de interesse em
(mas precisamos verificar o domínio da função).
Analisando o sinal da derivada:
- Para
, digamos : — função decrescente. - Para
, digamos : — função crescente.
Portanto, em
temos um ponto de mínimo.
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e identificar possíveis pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Portanto:
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada:
-
quando e ⇒ (mas pelo domínio). - Não há pontos onde
.
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio (
) e não possui pontos de inflexão.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio:
- Crescimento: Decrescente para
, Crescente para - Ponto de Mínimo:
- Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
- Sem pontos de inflexão
Assim, o gráfico terá uma curva que desce até
, onde atinge o mínimo, e então come��a a subir, mantendo a concavidade para cima.
Resposta
A função
é decrescente no intervalo
e crescente em
. Possui um ponto de mínimo local em
. O gráfico é côncavo para cima em todo o seu domínio e não apresenta pontos de inflexão.
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Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
(b)
Figura 1.3: Gráfico de