Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x+4}{x^{2}+2 x+5} d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma fração onde o numerador é e o denominador é . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como a divisão de polinômios e a completamento do quadrado. A gente vai precisar entender um pouco de álgebra para manipular a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do denominador. Observe que pode ser completado em um quadrado perfeito. Para isso, adicionamos e subtraímos o termo necessário:
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos dividir o numerador de forma que possamos separar a fração em duas partes mais simples de integrar. Podemos reescrever como:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Aqui, percebemos que o numerador é a derivada do denominador. Isso significa que podemos usar uma substituição simples. Seja , então . Ajustando, temos:
Segunda Integral:
Aqui, usamos a fórmula de integração que envolve a função arco-tangente. Sabemos que:
Aplicando isso, com :

Resposta

Juntando as duas partes, a integral original é:
Onde é a constante de integração.

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