Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x+4}{x^{2}+2 x+5} d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como a divisão de polinômios e a completamento do quadrado. A gente vai precisar entender um pouco de álgebra para manipular a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do denominador. Observe que
pode ser completado em um quadrado perfeito. Para isso, adicionamos e subtraímos o termo necessário:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos dividir o numerador
de forma que possamos separar a fração em duas partes mais simples de integrar. Podemos reescrever
como:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Aqui, percebemos que o numerador é a derivada do denominador. Isso significa que podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
. Ajustando, temos:
Segunda Integral:
Aqui, usamos a fórmula de integração que envolve a função arco-tangente. Sabemos que:
Aplicando isso, com
:
Resposta
Juntando as duas partes, a integral original é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto
.
é o conjunto do todos os pontos
tais que
.
Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int x(2 x+5)^{8} d x
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x^{2}-3 x+7}{\left(x^{2}-4 x+6\right)^{2}} d x
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x^{2}-2 x} d x