Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int x(2 x+5)^{8} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica bem útil para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Vamos deixar . Essa escolha vai simplificar o termo .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Precisamos também expressar em termos de . Da equação , isolamos :

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta por :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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