Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x^{2}-2 x} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de técnicas de integração, mais especificamente à frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso ajuda a simplificar a fração para que possamos usar frações parciais.
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações mais simples. A ideia é escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores e :
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos resolver o sistema de equações. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 5

Agora que temos e , substituímos de volta na decomposição:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que , onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados