Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x^{2}-2 x} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de técnicas de integração, mais especificamente à frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples que podemos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso ajuda a simplificar a fração para que possamos usar frações parciais.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações mais simples. A ideia é escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores
e
:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos resolver o sistema de equações. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 5
Agora que temos
e
, substituímos de volta na decomposição:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que
, onde
é a constante de integração.
Resposta
Portanto, a integral
é:
Onde
é a constante de integração.