Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto . é o conjunto do todos os pontos tais que .

Passo 1

Vamos calcular a área do conjunto . O conjunto é formado por todos os pontos que satisfazem e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A condição significa que estamos olhando para valores de a partir de 1 até o infinito. Já a condição nos diz que, para cada , o valor de vai de 0 até , que é uma função decrescente.

Passo 3

Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a função em relação a de 1 até o infinito. A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função no intervalo especificado.

Passo 4

A integral que precisamos calcular é:
Á
Vamos resolver essa integral.

Passo 5

Sabemos que a integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar .

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a :
Á
Sabemos que , então:
Á

Resposta

A área do conjunto é .

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