Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto
.
é o conjunto do todos os pontos
tais que
.
Passo 1
Vamos calcular a área do conjunto
. O conjunto
é formado por todos os pontos
que satisfazem
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A condição
significa que estamos olhando para valores de
a partir de 1 até o infinito. Já a condição
nos diz que, para cada
, o valor de
vai de 0 até
, que é uma função decrescente.
Passo 3
Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a função
em relação a
de 1 até o infinito. A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função no intervalo especificado.
Passo 4
A integral que precisamos calcular é:
Vamos resolver essa integral.
Passo 5
Sabemos que a integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 1 a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área do conjunto
é
.
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