Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{-1}^{1} \frac{e^{\operatorname{arctg} y}}{1+y^{2}} d y
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente utilizando uma substituição simples. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a função derivada da arcotangente e como aplicar a técnica de substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é a função arco tangente de , que é a função inversa da tangente. A derivada de em relação a é:
Passo 3
Observamos que no nosso integrando temos , que é exatamente a derivada de . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos calcular em termos de :
Perceba que . Então, podemos reescrever a integral original em termos de .
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração após a substituição.