Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{-1}^{1} \frac{e^{\operatorname{arctg} y}}{1+y^{2}} d y

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente utilizando uma substituição simples. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a função derivada da arcotangente e como aplicar a técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função arco tangente de , que é a função inversa da tangente. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Observamos que no nosso integrando temos , que é exatamente a derivada de . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos calcular em termos de :
Perceba que . Então, podemos reescrever a integral original em termos de .

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração após a substituição.

Passo 6

Vamos calcular nos limites originais:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Integrando em relação a :
Então, aplicando os limites:

Resposta

A integral é igual a:

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