Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0} \frac{\pi}{2} \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{2} x d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de de até . Vamos usar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar. Sabemos que:
Essas identidades transformam funções ao quadrado em expressões que são mais fáceis de integrar.
Passo 3
Agora, vamos substituir e na nossa integral usando as identidades que mencionamos:
Multiplicando essas duas frações, temos:
Passo 4
Perceba que é equivalente a pela identidade . Portanto:
Nossa integral agora fica:
Passo 5
Para integrar , vamos usar outra identidade trigonométrica: