Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0} \frac{\pi}{2} \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de de até . Vamos usar técnicas de integração que envolvem identidades trigonométricas para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar. Sabemos que:
Essas identidades transformam funções ao quadrado em expressões que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir e na nossa integral usando as identidades que mencionamos:
Multiplicando essas duas frações, temos:

Passo 4

Perceba que é equivalente a pela identidade . Portanto:
Nossa integral agora fica:

Passo 5

Para integrar , vamos usar outra identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando:
Então, substituindo:

Passo 7

Vamos calcular os limites:
Para :
Para :
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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