Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2}-7 y-12}{y(y+2)(y-3)} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida:
Esse exercício está dentro do conteúdo de técnicas de integração, especificamente frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração racional em frações mais simples que possamos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da expressão racional. Isso significa escrever a fração dada como uma soma de frações mais simples com denominadores lineares.
A expressão que temos é:
Vamos assumir que ela pode ser escrita como:
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Vamos escolher valores específicos de y para simplificar:
-
y = 0:
-
y = -2:
-
y = 3:
Então, os valores são:
Passo 4
Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a integral como a soma de integrais mais simples:
Vamos separar as integrais:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo:
-
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
:
Então, substituindo na expressão:
Passo 6
Vamos agora avaliar as integrais nos limites de 1 a 2:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Note que no limite inferior y=1, temos e no limite superior y=2, . Como o logaritmo de números negativos não está definido no conjunto dos números reais, podemos considerar o valor absoluto:
Resposta
Somando tudo, a integral definida é:
Portanto, a resposta final é:
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