Calcule os seguintes limites: d) lim x 0 sen 2 xraiz5 x^2+7 x

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular o limite quando limx 0 sen(2x)raiz5x^2 + 7x se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e radicais. Para resolver, vamos usar conhecimentos básicos de limites, aproximação de funções e propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. Sabemos que, para valores de sen(2x) approx 2x perto de 0, a função seno pode ser aproximada por:
Isso ocorre porque o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. A expressão dentro da raiz é:
5x^2 + 7x
Podemos fatorar 5x^2 + 7x = x(5x + 7) dessa expressão:
raiz5x^2 + 7x = raizx(5x + 7) = raizx cdot raiz5x + 7
Então, a raiz fica:
raiz5x + 7 approx raiz7
Para raiz5x^2 + 7x approx raiz7 cdot raizx próximo de 0, é muito pequeno comparado a 7, então:
Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos as aproximações no limite original:
Simplificando a expressão:
limx 0 sen(2x)raiz5x^2 + 7x approx limx 0 2xraiz7 cdot raizx = limx 0 2xraiz7 cdot x^1/2

Passo 5

Agora, observamos o comportamento de limx 0 x^1/2 = 0 quando limx 0 2raiz7 cdot x^1/2 = 2raiz7 cdot 0 = 0 se aproxima de 0. Sabemos que:
Então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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