Prove as seguintes identidades: c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica que envolve as funções arctangente (ou arctg). Basicamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e suas propriedades, principalmente a fórmula de adição para a tangente. Não se preocupe se isso parece complicado agora, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arctangente, ou , é a função inversa da tangente. Ou seja, se , então . Isso nos permite trabalhar com ângulos para facilitar a prova.

Passo 3

Vamos assumir que:
Então, de acordo com a definição de arctangente:

Passo 4

Queremos provar que:
Para isso, vamos usar a fórmula da tangente da soma e da diferença de dois ângulos. A fórmula geral é:

Passo 5

Substituindo e na fórmula, temos:
Isso mostra que a tangente da soma ou diferença dos ângulos e é igual a .

Passo 6

Agora, aplicando a função arctangente em ambos os lados, obtemos:
Lembrando que e , substituímos de volta:

Resposta

Assim, provamos que:

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Calcule:
a)
Resolva as seguintes inequalities: d)
Calcule os seguintes limites: d)
Diferencie os seguintes tipos de recalques: imediato, por adensamento primário e por adensamento (ou compressão) secundário.