Prove as seguintes identidades: c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica que envolve as funções arctangente (ou arctg). Basicamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e suas propriedades, principalmente a fórmula de adição para a tangente. Não se preocupe se isso parece complicado agora, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função arctangente, ou
, é a função inversa da tangente. Ou seja, se
, então
. Isso nos permite trabalhar com ângulos para facilitar a prova.
Passo 3
Vamos assumir que:
Então, de acordo com a definição de arctangente:
Passo 4
Queremos provar que:
Para isso, vamos usar a fórmula da tangente da soma e da diferença de dois ângulos. A fórmula geral é:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Isso mostra que a tangente da soma ou diferença dos ângulos
e
é igual a
.
Passo 6
Agora, aplicando a função arctangente em ambos os lados, obtemos:
Lembrando que
e
, substituímos de volta:
Resposta
Assim, provamos que:
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Calcule:
a)
Calcule:
a)
Resolva as seguintes inequalities: d)
Calcule os seguintes limites: d)
Diferencie os seguintes tipos de recalques: imediato, por adensamento primário e por adensamento (ou compressão) secundário.