Calcule os seguintes limites, se existirem, caso algum não exista justifique.
(d) lim x infty 7 x^4-3 x^3+x-45 x^3-2 x^2+3 x-4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite, quando limx infty 7x^4 - 3x^3 + x -45x^3 - 2x^2 +3x -4 tende ao infinito, da seguinte razão de polinômios:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais (ou seja, razões de polinômios) quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o grau dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele.
  • No numerador , o grau é 4.
  • No denominador , o grau é 3.

Passo 3

Quando calculamos o limite de uma razão de polinômios quando tende ao infinito, o comportamento da função é principalmente influenciado pelos termos de maior grau em cada polinômio.
Aqui, o termo de maior grau no numerador é e no denominador é .

Passo 4

Vamos focar nesses termos principais para simplificar o limite:
limx infty 7x^45x^3 = limx infty 75x^4-3 = limx infty 75x
Simplificamos os dividindo os expoentes , ficando com na expressão.

Passo 5

Agora, temos:
limx infty 75x
Como tende ao infinito, também tende ao infinito. Ou seja, a função cresce sem limites conforme aumenta.

Resposta

O limite é .

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e^x^4-x^2 <= f(x) <= 1+x^2-x^4
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